【コード付き】放物形の偏微分方程式の数値解法【Python】

本記事では、放物形偏微分方程式の数値解法について、分かりやすい具体例とともに掘り下げていきます。Pythonを活用したアプローチ方法を学びます。

本記事を通して偏微分方程式の数値解法の1つを会得しましょう！

注）差分法の一部の話だけにとどめています。誤差や境界条件などの詳細な議論は冗長化を避けるためにご紹介していません。

動作検証済み環境

macOS Monterey(12.7.1), python3.11.4

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偏微分方程式の数値解法とは

偏微分方程式の数値解法は、偏微分方程式（PDE: Partial Differential Equations）の解を近似的に求めるための手法のことを指します。これらの方程式は、多くの場合、解析的な解が見つけられないため、数値的な手法が必要となります。以下に、主な数値解法をいくつか紹介します。

有限差分法（Finite Difference Method）: 空間や時間を離散的なグリッドに分割し、微分を差分に置き換えることにより近似します。この方法は直感的で実装が比較的簡単ですが、グリッドの選択が解の精度に大きく影響します。
有限要素法（Finite Element Method）: 問題の領域を小さな「要素」に分割し、各要素内で方程式を近似します。この方法は複雑な形状や境界条件を持つ問題に適しています。
有限体積法（Finite Volume Method）: 保存則を基にした方程式に特に適しており、領域を小さな「体積」に分割し、各体積内の平均値を計算します。
スペクトル法（Spectral Method）: 方程式を異なる周波数の波形の和として表し、これらの波形の係数を計算することで解を近似します。高い精度を達成できますが、滑らかな解が必要です。
差分時間領域法（Finite-Difference Time-Domain, FDTD）: 電磁気学で広く使われている、時間領域における有限差分法の一種です。

これらの方法は、物理学、工学、気象学など様々な分野で偏微分方程式の解を求めるために用いられます。それぞれの方法には特徴や適用できる問題の種類が異なり、問題の性質に応じて最適な方法を選択する必要があります。また、高度なコンピュータシミュレーションにおいては、これらの方法が組み合わされることもあります。

本記事では有限差分法（Finite Difference Method）を用いた数値解法についてご紹介します。

差分近似

偏微分方程式の数値解法においては差分法は非常に多く用いられます。

差分法では差分近似を用います。偏微分係数での差分近似の考え方の詳細は別の記事に譲り、ここでは本記事のメイントピックである放物形方程式で使用する差分近似のみを手短にご紹介します。

$u = u(x,y)$ が領域 $0 \leqq x \leqq a, 0 \leqq y \leqq b$ で与えられているものとします。この領域を以下の図のように格子（差分格子）に分割します。格子間隔は等間隔でもよいですが、一般的には図のように不等間隔格子を用いてもよいです。

$x$ 方向への格子番号を $i=0 \sim m$ 、$y$ 方向格子番号を $j=0 \sim n$ とします。点 $(x,y)$ の格子点の番号を図に示したように $(i,j)$ とし、そこでの $u$ の値 $u(x,y)$ を $u_{i,j}$ と表します。格子点 $(i,j)$ の隣の格子点は図に示したように $\Delta x_i,\Delta y_i$ などで表しておきます。

格子間隔が等間隔の場合は

$$
\begin{aligned}
\Delta x_{i-1} = \Delta x_{i} =h \\
\Delta y_{i-1} = \Delta y_{i} =k
\end{aligned}
$$

となり、1階偏微分係数は前進差分近似を用いて次のようになります。

$$
\begin{aligned}
\frac{∂u}{∂x} = \frac{1}{h}(u_{i+1,j} – u_{i,j}) \\
\frac{∂u}{∂y} = \frac{1}{k}(u_{i,j+1} – u_{i,j})
\end{aligned}
$$

また2階偏微分係数は中心差分近似を用いて次のようになります。

$$
\begin{align*}
\frac{∂^2u}{∂x∂y} &= \frac{1}{4hk}(u_{i+1,j+1} – u_{i+1,j-1} – u_{i-1,j+1} + u_{i-1,j-1}) \\
\frac{∂^2u}{∂x^2} &= \frac{1}{h^2}(u_{i+1,j} – 2u_{i,j} + u_{i-1,j}) \\
\frac{∂^2u}{∂y^2} &= \frac{1}{k^2}(u_{i,j+1} – 2u_{i,j} + u_{i,j-1})
\end{align*}
$$

これらの差分近似を用いて、偏微分方程式を差分方程式に変換します。

有限差分法（Finite Difference Method）を用いた数値解法

有限差分法を用いた偏微分方程式を数値的に解く手順としては、

偏微分方程式→差分方程式へ変換
差分方程式を使って、各要素の値を計算していく

となります。以下でそれぞれの手順について説明します。

偏微分方程式→差分方程式へ変換

放物形方程式

$$
\frac{∂u}{∂t} = \chi \frac{∂^2u}{∂x^2} ; \ \ \ \ \ \ 0 \leqq x \leqq a, 0 \leqq t < \infty \ \ \ \ (1)
$$

初期条件： $u(x,0)= f(x)$
境界条件： $u(0,t) = g_1(t), \ \ \ u(a,t) = g_2(t)$

のもとで解く場合を例に考えます。（$\chi, a, g_1(t), g_2(t)$ は既知とします）

まずは式 $(1)$ を差分方程式で表していきましょう。差分方程式への変換は前節の差分近似した偏微分係数を流用します。すなわち

$$ \frac{(u_{i,j+1} – u_{i,j}) }{k} = \chi \frac{(u_{i+1,j} – 2u_{i,j} + u_{i-1,j}) }{h^2} $$

となります。この式を整理すると

$$ \begin{align*} u_{i,j+1} &= (1-2r) u_{i,j} + r(u_{i+1,j} + u_{i-1,j}) \ \ \ \ (2) \\ r &= \chi k/h^2 \end{align*} $$

となります。

差分方程式を使って、各要素の値を計算していく

差分方程式 $(2)$ をよく眺めてみましょう。

たとえば、 $u_{1,1}$ を求めたいとき、式 $(2)$ を用いると

$$ u_{1,1} = (1-2r) u_{1,0} + r(u_{2,0} + u_{0,0}) $$

となります。下の図にも表しましたが $u_{0,0}, u_{1,0}, u_{2,0}$ が既知であれば $u_{1,1}$ は計算できることがわかります。実際に $u_{0,0}, u_{1,0}, u_{2,0}$ は初期条件と境界条件より既知です。

また $u_{2,1}$ も同様に $u_{1,0}, u_{2,0}, u_{3,0}$ から求めることができます。 1つ前の時刻行上の要素から次の時刻行上の各要素をすべて計算できるのです。

このように既知の時刻行上の $u$ 値より次の時刻行上の $u$ 値を直接求める方法を陽解法といいます。

いま、温度はすべて正の値をもつものとすれば、式 $(2)$ で $r>0$ ( $\chi > 0$ ) なので右辺最後の項は正であり、求めようとする $u_{i,j+1}$ が正であるためには、少なくとも右辺第1項も正であれば良いです。すなわち

$$ 1-2r \geqq 0 \ \ \ \ \ \therefore r \leqq 1/2 \ \ \ \ (3) $$

の条件が成り立てば良いです。この条件は $t$ と $x$ の格子間隔 $k$ と $h$ は互いに依存していて、それぞれを独立に定めることができないことを示すものです。

陽解法は簡単でわかりやすいのですが、式 $(3)$ の条件より $h$ を小さくすると $k \leqq h^2/2 \chi$ で $k$ を非常に小さくとる必要があり、計算時間が大幅に長くなる不便が生じます。この不便をなくすためにすべての $r$ に対して有効な方法としてクランク-ニコルソンの陰解法があります。陰解法については、機会があれば別記事でご紹介します。

例題

長さ $1$ $\mathrm{m}$の細い棒の温度が最初 $0$ ℃であったとする。この棒の一端を $0$ ℃、他端を $100$ ℃に保つものとすれば、その後の棒の温度分布はどのように変化するかを調べよ。ただし棒の周囲と外界との間の熱移動はないものとする。温度伝導率 $\chi = 0.07$ $\mathrm{m^2/h}$ とし、 $x$ 方向の格子間隔は $h=0.1$ として計算せよ。

温度分布 $u(x,t)$ に対する基礎方程式と条件は次式のようになります。

$$ \frac{∂u}{∂t} = \chi \frac{∂^2u}{∂x^2} ; \ \ \ \ \ \ 0 \leqq x \leqq 1, 0 \leqq t < \infty $$

初期条件： $u(x,0)=0$

境界条件： $u(0,t) = 0, \ \ \ u(1,t) = 100$

格子番号を $i=0 \sim m, j=0 \sim n$ とし、任意格子点の $u$ の値を $u_{i,j}$ とします。

上でもご紹介したように、まずはこの偏微分方程式を差分方程式に変換し、次に差分方程式を解くためのプログラムを実装していきましょう。

実装方法

コードは以下のように実装できます。

グラフの作成、結果のテキストファイル出力もしているので少しコードが長いですが、重要な部分は calculate_equation 関数になります。

以下の実装を main.py という名前でどこかのフォルダ（ここでは~/Desktop/labcode/python/numerical_calculation/parabolic_equation とします）に保存しましょう。

import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import ArtistAnimation
import pathlib
import numpy as np


def _set_initial_condition(
    *,
    array_2d: list,
    grid_counts_x: int,
) -> None:
    """
    初期条件の設定

    境界以外のU値を全て0.0とおく
    """
    for i in range(1, grid_counts_x):
        array_2d[i][0] = 0.0
    return array_2d


def _set_boundary_condition(
    *,
    array_2d: list,
    grid_counts_x: int,
    grid_counts_t: int,
) -> None:
    """境界条件の設定"""
    # x=0上の境界条件
    for j in range(grid_counts_t + 1):
        array_2d[0][j] = 0.0

    # x=M上の境界条件
    for j in range(grid_counts_t + 1):
        array_2d[grid_counts_x][j] = 100.0


def calculate_equation(*, M: int, N: int, R: float) -> list:
    """
    差分方程式を計算する

    本プログラムの肝となる関数
    """
    # U値のリスト
    U: list = [[0.0 for _ in range(N + 1)] for _ in range(M + 1)]

    # 初期値設定
    _set_initial_condition(
        array_2d=U,
        grid_counts_x=M,
    )
    _set_boundary_condition(
        array_2d=U,
        grid_counts_x=M,
        grid_counts_t=N,
    )

    # 計算
    for j in range(N):
        for i in range(1, M):
            U[i][j + 1] = (1.0 - 2 * R) * U[i][j] + R * (U[i + 1][j] + U[i - 1][j])
    return U


def animate_time_evolution(
    *,
    array_2d: list,
    grid_counts_x: int,
    grid_counts_t: int,
    grid_space: float,
    time_delta: float,
) -> None:
    """
    点線プロットのアニメーションを作成
    array_1dのデータをプロットし、時間発展をアニメーションで表示する
    """
    # 2次元配列を転置
    array_2d = np.array(array_2d).T
    # x軸の値を生成
    x_values = np.arange(grid_counts_x + 1) * grid_space

    # アニメーションの作成
    path_gif = "./animation.gif"
    frames = []

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 5))
    plt.xlabel("X (m)")
    plt.ylabel("Temperature (deg.)")
    plt.grid(True)

    for j in range(grid_counts_t + 1):
        frame = plt.plot(
            x_values,
            array_2d[j],
            linestyle="--",
            marker="o",
            color="b",
        )

        time = j * time_delta
        text = ax.text(
            0.05,
            0.95,
            f"t = {time:.2f} (h)",
            transform=ax.transAxes,
            fontsize=14,
            verticalalignment="top",
        )
        frames.append(frame + [text])

    anim = ArtistAnimation(fig, frames, interval=100)
    anim.save(path_gif, writer="pillow")


def output_result_file(
    array_2d: list,
    grid_counts_x: int,
    grid_counts_t: int,
    grid_space: float,
) -> None:
    """2次元配列をテキストファイルに書き出す"""
    with open("./calculated_result.txt", "w") as file:
        file.write(f"# This file shows calculated result as below.\n\n")
        file.write(f"# Calculation Parameters.\n")
        file.write(f"grid_counts_x: {grid_counts_x}\n")
        file.write(f"grid_counts_t: {grid_counts_t}\n")
        file.write(f"grid_space: {grid_space}\n")

        file.write(f"# Calculated Matrix U.\n")
        for row in array_2d:
            line = " ".join(map(str, row))
            file.write(line + "\n")


def validate_parameters(R: float) -> None:
    """パラメータの妥当性をチェックする"""
    if R > 0.5:
        raise ValueError("R must be less than 0.5.")


if __name__ == "__main__":
    """
    放物形方程式の数値解法（陽解法）
    """
    grid_counts_x: int = 10  # 格子点番号mの値
    grid_counts_t: int = 150  # 格子点番号nの値
    grid_space: float = 0.1  # 刻み幅 (meter)
    time_delta: float = 0.07  # 刻み幅 (hour)
    CHI: float = 0.07  # 温度伝導率 (m^2/h)
    r: float = CHI * time_delta / grid_space**2

    validate_parameters(R=r)

    array_2d = calculate_equation(
        M=grid_counts_x,
        N=grid_counts_t,
        R=r,
    )
    animate_time_evolution(
        array_2d=array_2d,
        grid_counts_x=grid_counts_x,
        grid_counts_t=grid_counts_t,
        grid_space=grid_space,
        time_delta=time_delta,
    )
    output_result_file(
        array_2d=array_2d,
        grid_counts_x=grid_counts_x,
        grid_counts_t=grid_counts_t,
        grid_space=grid_space,
    )

プログラムを実行する

ターミナルを開き、

$ cd Desktop/labcode/python/numerical_calculation/parabolic_equation

と入力し、ディレクトリを移動します。あとは以下のコマンドを実行するだけです。（ $マークは無視してください）

$ python main.py

実行結果

~/Desktop/LabCode/python/numerical_calculation/parabolic_equation にanimation.gifというファイルができて，以下のようなgif画像になっていれば成功です！

右端 $x=1.0$ の境界の温度がじわじわ左方へ広がっている様子が可視化されていますね。 $t=7.00$ $\mathrm{h}$ には熱平衡に達していることもわかります。

また、 calculated_result.txt というテキストファイルも以下のように作成されているはずです。今回は簡単な情報しか出力していませんが、このように計算結果と計算に用いたパラメータを出力しておくことで、第三者でも計算結果を評価することが可能になります。自分のためにも、他の人のためにも、ぜひ結果は出力する癖をつけましょう。

# This file shows calculated result as below.

# Calculation Parameters.
grid_counts_x: 10
grid_counts_t: 150
grid_space: 0.1
# Calculated Matrix U.
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
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100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0

コードの解説

このPythonコードは、放物形方程式（parabolic equation）の数値解法に関するもので、特定の条件下で方程式の近似解を計算し、その結果をアニメーションとテキストファイルに出力するものです。コードは以下に記すいくつかの主要な部分に分かれています：

1. Pythonにおけるメイン実行ブロック

if __name__ == "__main__":
    """
    放物形方程式の数値解法（陽解法）
    """
    grid_counts_x: int = 10  # 格子点番号mの値
    grid_counts_t: int = 150  # 格子点番号nの値
    grid_space: float = 0.1  # 刻み幅 (meter)
    time_delta: float = 0.07  # 刻み幅 (hour)
    CHI: float = 0.07  # 温度伝導率 (m^2/h)
    r: float = CHI * time_delta / grid_space**2

    validate_parameters(R=r)

    array_2d = calculate_equation(
        M=grid_counts_x,
        N=grid_counts_t,
        R=r,
    )
    animate_time_evolution(
        array_2d=array_2d,
        grid_counts_x=grid_counts_x,
        grid_counts_t=grid_counts_t,
        grid_space=grid_space,
        time_delta=time_delta,
    )
    output_result_file(
        array_2d=array_2d,
        grid_counts_x=grid_counts_x,
        grid_counts_t=grid_counts_t,
        grid_space=grid_space,
    )

このコードは、Pythonにおけるメイン実行ブロック（if __name__ == "__main__"）の中に記述されており、放物形方程式の数値解法を実装するスクリプトの主要部分を構成しています。Pythonのプログラムが実装されると、まずこの実行ブロック内のコードが実行されます。

ここでは、陽解法を用いて数値解を計算し、その結果をアニメーションおよびファイルに出力するプロセスが定義されています。以下に各ステップを詳しく説明します。

処理の流れ

グリッドと時間の設定:
- grid_counts_x: 空間方向の格子点の数を定義します。
- grid_counts_t: 時間方向の格子点の数を定義します。
- grid_space: 空間方向の格子点間の距離（刻み幅）です。単位はメートル(m)。
- time_delta: 時間方向の格子点間の時間間隔（刻み幅）です。単位は時間(h)。
- CHI: 温度伝導率を定義します。これは熱がどのくらい早く伝わるかを示す値です。
- r: 陽解法で使用される定数で、温度伝導率、時間の刻み幅、空間の刻み幅に依存します。
パラメータの妥当性チェック:
- validate_parameters関数を使って、計算に使用するパラメータが妥当かどうかをチェックします。ここでは、rが0.5未満であることを確認します。
差分方程式の計算:
- calculate_equation関数を使用して、差分方程式を計算します。この関数は、空間と時間の格子点の数、およびrの値に基づいて数値解を計算します。
アニメーションの作成:
- animate_time_evolution関数を使用して、計算結果を基にアニメーションを作成します。これにより、時間が経過するにつれて解がどのように変化するかを視覚的に確認できます。
結果のファイル出力:
- output_result_file関数を使用して、計算された数値解をテキストファイルに出力します。

2. パラメータの妥当性チェック

def validate_parameters(R: float) -> None:
    """パラメータの妥当性をチェックする"""
    if R > 0.5:
        raise ValueError("R must be less than 0.5.")

このvalidate_parameters関数は、数値解法において重要なパラメータの妥当性をチェックするための関数です。具体的には、放物型偏微分方程式の数値解法において使用されるパラメータRの値が特定の条件を満たしているかを確認します。関数の動作は以下の通りです：

関数のパラメータ:
- R: 数値解法において使用されるパラメータです。この値は通常、空間と時間の刻み幅、および物理的な係数（例えば、熱伝導率）に基づいて計算されます。
妥当性チェック:
- この関数は、Rが0.5より大きい場合にエラーを発生させます。R > 0.5の場合、ValueErrorを投げて処理を中断します。
重要性:
- この妥当性チェックは、数値解法における安定性や正確性を確保するために重要です。特に、差分方程式を用いた数値解法では、Rの値によって計算の安定性が大きく左右されます。Rがある閾値より大きい場合、計算が不安定になるか、誤った結果を生む可能性があります。

3. 差分方程式の計算

def calculate_equation(*, M: int, N: int, R: float) -> list:
    """
    差分方程式を計算する

    本プログラムの肝となる関数
    """
    # U値のリスト
    U: list = [[0.0 for _ in range(N + 1)] for _ in range(M + 1)]

    # 初期値設定
    _set_initial_condition(
        array_2d=U,
        grid_counts_x=M,
    )
    _set_boundary_condition(
        array_2d=U,
        grid_counts_x=M,
        grid_counts_t=N,
    )

    # 計算
    for j in range(N):
        for i in range(1, M):
            U[i][j + 1] = (1.0 - 2 * R) * U[i][j] + R * (U[i + 1][j] + U[i - 1][j])
    return U

このcalculate_equation関数は、放物形偏微分方程式の数値解法の核となる部分です。この関数は、熱伝導方程式のような方程式の差分近似を計算するために使用されます。具体的な動作は以下の通りです：

関数のパラメータ:
- M: 空間方向の格子点の数です。
- N: 時間方向の格子点の数です。
- R: 差分方程式の計算に使用する定数で、主に時間刻み幅と空間刻み幅、温度伝導率に依存します。
U値の初期化:
- U: 2次元リスト（配列）で、計算される各格子点の値を格納します。初期値は全て0.0に設定されています。
初期条件の設定:
- _set_initial_condition関数を使用して、Uの初期条件を設定します。この例では、特定の境界以外の値を0.0に設定しています。
境界条件の設定:
- _set_boundary_condition関数を使用して、Uの境界条件を設定します。この例では、一方の境界を0.0、もう一方を100.0に設定しています。
差分方程式の計算:
- 時間と空間の各格子点に対して、差分方程式を使用してUの値を更新します。ここでは、次の時間ステップにおけるある空間点の値は、現在の時間ステップにおけるその点と隣接する2点の値に依存しています。
結果の返却:
- 計算されたUの値の2次元リストを返します

4. アニメーションの作成

def animate_time_evolution(
    *,
    array_2d: list,
    grid_counts_x: int,
    grid_counts_t: int,
    grid_space: float,
    time_delta: float,
) -> None:
    """
    点線プロットのアニメーションを作成
    array_1dのデータをプロットし、時間発展をアニメーションで表示する
    """
    # 2次元配列を転置
    array_2d = np.array(array_2d).T
    # x軸の値を生成
    x_values = np.arange(grid_counts_x + 1) * grid_space

    # アニメーションの作成
    path_gif = "./animation.gif"
    frames = []

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 5))
    plt.xlabel("X (m)")
    plt.ylabel("Temperature (deg.)")
    plt.grid(True)

    for j in range(grid_counts_t + 1):
        frame = plt.plot(
            x_values,
            array_2d[j],
            linestyle="--",
            marker="o",
            color="b",
        )

        time = j * time_delta
        text = ax.text(
            0.05,
            0.95,
            f"t = {time:.2f} (h)",
            transform=ax.transAxes,
            fontsize=14,
            verticalalignment="top",
        )
        frames.append(frame + [text])

    anim = ArtistAnimation(fig, frames, interval=100)
    anim.save(path_gif, writer="pillow")

このanimate_time_evolution関数は、数値的に解かれた放物形偏微分方程式の結果をアニメーションとして視覚化するためのものです。具体的な機能とプロセスは以下の通りです：

パラメータ:
- array_2d: 2次元の数値データを格納したリスト。これはcalculate_equation関数で計算された結果を含む。
- grid_counts_x: 空間方向の格子点の数。
- grid_counts_t: 時間方向の格子点の数。
- grid_space: 空間方向の格子点間の距離（刻み幅）。
- time_delta: 時間方向の格子点間の時間間隔（刻み幅）。
2次元配列の転置とx軸値の生成:
- 数値データをnumpy配列に変換し、転置します。これにより、行が時間ステップ、列が空間ステップに対応するようになります。
- x軸の値を生成します。これは、空間格子点に対応する実際の位置を示します。
アニメーションの準備:
- 出力するアニメーションファイルのパスを設定します（ここでは"./animation.gif"）。
- 各フレームを格納するための空のリストframesを作成します。
グラフの設定:
- matplotlibを使用してグラフを作成します。
- x軸（位置）とy軸（温度）のラベルを設定します。
- グリッドを表示するためにplt.grid(True)を呼び出します。
各時間ステップでのフレームの生成:
- 時間の各ステップに対して、その時点での温度分布をプロットします。
- 点線とマーカーでプロットを行い、色を青（"b"）に設定します。
- 各フレームに時間を表示するテキストを追加します。
アニメーションの作成と保存:
- ArtistAnimationを使用して、フレームのリストからアニメーションを作成します。
- 作成したアニメーションをGIF形式で保存します。

5. 結果のファイル出力

def output_result_file(
    array_2d: list,
    grid_counts_x: int,
    grid_counts_t: int,
    grid_space: float,
) -> None:
    """2次元配列をテキストファイルに書き出す"""
    with open("./calculated_result.txt", "w") as file:
        file.write(f"# This file shows calculated result as below.\n\n")
        file.write(f"# Calculation Parameters.\n")
        file.write(f"grid_counts_x: {grid_counts_x}\n")
        file.write(f"grid_counts_t: {grid_counts_t}\n")
        file.write(f"grid_space: {grid_space}\n")

        file.write(f"# Calculated Matrix U.\n")
        for row in array_2d:
            line = " ".join(map(str, row))
            file.write(line + "\n")

このoutput_result_file関数は、計算された2次元配列のデータをテキストファイルに書き出すためのものです。具体的には、放物形偏微分方程式の数値解法によって得られた結果を保存するために使用されます。関数の動作は以下の通りです： 1.

関数のパラメータ:
- array_2d: 2次元配列（リスト）。これは計算結果を含みます。
- grid_counts_x: 空間方向の格子点の数。
- grid_counts_t: 時間方向の格子点の数。
- grid_space: 空間方向の格子点間の距離（刻み幅）。
テキストファイルの作成と書き込み:
- open関数を使用して、"./calculated_result.txt"という名前の新しいテキストファイルを書き込みモードで開きます。
- withステートメントを使うことで、ファイルの正しいクローズを保証しています。
計算パラメータの書き込み:
- ファイルに計算に使用されたパラメータ（格子点の数、格子間の距離）を書き込みます。これにより、ファイルの内容を見た人が計算条件を容易に理解できます。
計算結果の書き込み:
- 計算された2次元配列（array_2d）の各行をテキストファイルに書き込みます。
- 各行の数値は空白で区切られ、str関数を使用して文字列に変換されます。